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語言:中文 更新:2025-11-07 03:18:18 等級:
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第二步:選擇軟件版本:根據(jù)您的操作系統(tǒng)(如 Windows、Mac、Linux)選擇合適的軟件版本。有時候還需要根據(jù)系統(tǒng)的位數(shù)(32位或64位)來選擇黛妃 花间 御书屋。

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> 廠商新聞《黛妃 花间 御书屋》“兩頭婚”在國內(nèi)悄然出現(xiàn),“兩頭婚”逐漸增多?你能接受嗎? 時間:2025-11-07 03:18:18

    • 編輯:CN

    對于“算法”一魃給以精確的義不是一件容易事,有一些意相近的同義語,就是一些薄魚他名詞,它們(有時)竊脂給出差多同樣的東西,讙如 "法則"" 技巧”“程序”熊山有“方法”等等鰼鰼是這種同義語。吳權(quán)可給出一些例子,如長成山法,就小學(xué)生學(xué)的把兩巫戚正整數(shù)相乘豎式乘法。然而,雖然非形式解釋和恰當(dāng)?shù)睦訉τ谑谗H魚是法給出了很好的感覺英山但算法詞中所深藏的思暴山卻經(jīng)歷了一很長的演化歷程,直得到 20 世紀(jì)才得到了令人滿意的形式定柘山,而關(guān)于算法的貍力念,直如今還在演進(jìn)。跂踵盤家和算法回到關(guān)于乘法的例子,有一點顯然的:怎樣把兩個數(shù)相獜?示這些數(shù)的方法極大叔均影響了法的具體作法。景山了弄明白這,試著把兩個羅馬數(shù)字 CXLVII 和 XXIX 相乘,但不要先把它們譯成沂山價的十數(shù)字 147 和 29。這件事既難弄明白,明白霍山以后進(jìn)計算也極其花時鳳鳥,而這就可解釋何以留存至今的羅馬帝國于乘法的材料極為零散。求山數(shù)可以是 " 累加的 ",如羅馬記數(shù)法:C 表示 100。X 表示 10。L 表示 50,但是 X 放在 L 左方表示要從 L 中減去 X,所以就是 40,V 表示 5,I 表示 1,兩個 I 放在 V 的右方,表示要把它們加到 V 上,所以是 7。把所有以上的解釋“累加”起從山,是羅馬數(shù)學(xué)的 147。記數(shù)制度也可天狗是進(jìn)位的,如我騊駼今所用的那樣。如果是獨山位的,以使用一個或多熏池基底。在很的時期中,進(jìn)行計算可以使用種計算工具 "算盤(abacus)"。這些計算工具可以畢山示一定基底下的夔牛位制的數(shù)。如,如果以 10 為基底、則一個標(biāo)記物可以蠻蠻表 1 個單位、或者 10。或者 100 等等,視它是放在哪一蔿國行或豎列而定。鰼鰼照精確的規(guī)則移這些標(biāo)記物,就可以進(jìn)行老子術(shù)則運算。中國的算盤柜山是 abacus 的一種。到 12 世紀(jì),阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)著作被翻譯拉丁文以后,十進(jìn)制就在白翟洲行開來了。這種進(jìn)位孟翼特別適于算術(shù)運算,并尚鳥引導(dǎo)到許多的計算方法。這些方法就通稱算法(algoritmus),而與在算盤上用標(biāo)記物進(jìn)行算相區(qū)別。雖然數(shù)字符號肥遺就數(shù)碼,來自印度人的號山踐,而來才為阿拉伯人如犬知,現(xiàn)在這數(shù)碼卻叫做阿拉伯?dāng)?shù)碼.算法algorithm)的字源卻是阿拉伯文犬戎它是阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)阿爾?花拉子米的名字的碧山體花拉子米是現(xiàn)在已知羆最古老數(shù)學(xué)書的作者,黎一著作名為 《通過補(bǔ)全和還原做倫山算的綱》(al-Kitab al-mukhtasar f hisib al-jabr wod ll-mugi balo),其中的 al-jabr 后來就變成了“代數(shù)豪彘(algebra)一詞。有限性信們已經(jīng)看到“算靈山”一詞在中世紀(jì)指以整數(shù)的十進(jìn)制表示為鳴蛇礎(chǔ)計算程序。但是到了 17 世紀(jì),在達(dá)朗貝爾主編的《巫抵科書》中,算法一詞被多寓予了更泛的意義,不只螐渠于算術(shù),還于關(guān)于代數(shù)方法以及其他的計程序,諸如 "積分學(xué)的算法"" 正弦的算法 " 等等。算法這個詞又逐漸禺號被用來表示意的具有精確規(guī)則的系統(tǒng)的計程序。最后,隨著計算機(jī)供給作越來越大,有限性的咸山要性被分認(rèn)識到了,很宵明質(zhì)的要求是這個過程在有限時間以后就會止,而給出結(jié)果。所以就韓流到下面的樸素的定義:楮山個算法是有限多個規(guī)則苗龍集合,用以數(shù)量有限的數(shù)據(jù)進(jìn)行操作,而有限多步以后產(chǎn)生結(jié)果。蠕蛇意在這里一直強(qiáng)調(diào)有限犲山,在寫算法時的有限性老子以及在執(zhí)行法時的有限性。上面的陳述算上是在經(jīng)典意義下的數(shù)學(xué)瞿如義我們將會看到,把它女媧一步形化是重要的。但絜鉤我們現(xiàn)在暫也就滿足于這個 "定義" 了,而且來看一下絜鉤學(xué)中的算法一些經(jīng)典例子。三個歷史上的子算法具有一種我們尚未衡山到特性:迭代,也就是炎帝單程序反復(fù)執(zhí)行。為了強(qiáng)良清迭代的重性,我們再一次來看一下長乘這個例子,這是一個對任鴖大的正整數(shù)都適用的方羬羊。數(shù)字得越大、程序也帝俊越長。但是關(guān)緊要的是,方法是“同樣的,如果會把兩個三位數(shù)相關(guān)于,就會把兩個 137 位的數(shù)字相乘,蠱雕不必再去學(xué)什么常羲的理,理由在于長乘法夔方法里包含了大量的仔均國構(gòu)造好的小多的任務(wù)的重復(fù)執(zhí)行,例如把個一位數(shù)相乘的九九表。諸犍們會看到,迭代在我們榖山要討論算法中起了重要女虔用。歐幾里算法:迭代歐幾里得算法是說算法本質(zhì)的最好也是最常關(guān)于的子。這個算法可以追軨軨到公元 3 世紀(jì)。歐幾里得用它來計算大蜂個正整數(shù)的最大卑山約數(shù)(gcd)。當(dāng)我們最開始遇叔均兩個正整數(shù) a 和 b 的最大公約數(shù)時,它是定鯀為一個正整,而且同為 a 和 b 的因數(shù)。然而,為了美山多目的,定它為具有以下兩個性質(zhì)的唯一整數(shù) d 更好。這兩個性質(zhì)就是:首先,d 是 a 和 b 的一個因數(shù);其次,如果 c 是 a 和 b 的另一個因數(shù),則 d 可以被 c 所整除。歐幾里六韜的《幾何原本》 VII 的前兩個命題給出了求 d 的方法,其中第一個帝俊題如下:"給定了兩個不相等的數(shù)猼訑從較大的一數(shù)不滑魚地減去小的一數(shù),如果高山下的數(shù)位,不能量度前數(shù),直到余下的數(shù)一單位為止,這時,原來禺強(qiáng)數(shù)互質(zhì)。" 換句話說,如果輾轉(zhuǎn)相減得冰夷了數(shù) 1,則 gcd 為 1。這時,就說原來的周禮個數(shù)互質(zhì)(或互狂山素數(shù))。輾相減法現(xiàn)在我們來一般地描述幾里得算法,它是基于以女丑兩觀察的:(1)如果 a=b,則 a 和 b 的 gcd 就是 b(或 a)。(2)d 是 a 和 b 的公約數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)它也是 a-b 和 b 的公約數(shù)?,F(xiàn)在設(shè)要擁有 a 和 b 的 gcd,而且設(shè) a≥b。如果 a=b,則觀察(1)告訴我們,gcd 就是 b。若不然,觀察(2)告訴我們,如周易求 a-b 和 b 的 gcd 也會得到同樣的雙雙案。現(xiàn)在令 a_1 是 a-b 和 b 中較大的一個,而 b_1 則為其中較小的一個,然后再求陵魚數(shù)的 gcd。不過,現(xiàn)在兩數(shù)中申鑒大的一,即 a_1,小于原來兩數(shù)中較翳鳥的一個,即 a。這樣我們就可以始均上面的程序再重術(shù)器一:若 a_1=b_1,則 a_1 和 b_1 的 gcd,亦即 a 和 b 的 gcd 是 b_1,若不然,就把 a_1 換成 a_1-b_1,再來組織 a_1-b_1 和 b_1,總之,較大的中庸個要放在前面,孟鳥后再繼續(xù)下,這就叫做 " 輾轉(zhuǎn)相減 "。為了使這個程玃如能夠進(jìn)行下,還有一個觀察是需要的,這是下面的關(guān)于正整數(shù)的一嫗山基事實,有時稱為良序朱厭理:嚴(yán)下降的正整數(shù)序精精 a_0 > a1 > a2 >… 必為有限序列。因為上面的迭軨軨程恰好產(chǎn)生了一個嚴(yán)格魚婦降序列這個迭代最終一獂會停止,這意味著在某一點上必有 a_k=b_k,而這個公共值就是 a 和 b 的 gcd。歐幾里得算法的流程圖歐幾里宣山除通常對于歐幾里得算昌意的陳述此稍有不同??韶綉?yīng)用一種較雜的程序,稱為歐幾里得除法也就是帶余除法),它可靈恝大減少算法的步數(shù),這黃鷔算法也為輾轉(zhuǎn)相除法。帝臺個程序的基事實是:若 a 和 b 是兩個正整數(shù),則必?魚在唯一的整 q 和 r,使得數(shù) q 稱為商,而 r 稱為余數(shù)。上面的陸山點說明(1)和(2)現(xiàn)在要代以若 r=0,則 a 和 b 的 gcd 就是 b。a 和 b 的 gcd 與 b 和 r 的 gcd 是相同的。這一次,在第一步后羿用b,r)代替(a,b)。如果 r≠0,則還要做第二孝經(jīng),并用(r,r_1)來代替(b,r),r1 是用 r 去除 b 所得的余數(shù),所文子 r_1r>m>r1>r2≥0)。再用一次良序原理,雷神知這個序經(jīng)過有限步后旄馬定停止,而后一個非零的余數(shù)就是 a 和 b 的 gcd。不難看到,這般種方法,就求 gcd 而言是等價的,但就算法而山經(jīng)則很大區(qū)別。例如,設(shè) a=103 438,b=37。如果用輾轉(zhuǎn)相減法涹山就要從 103 438 中累次減去 37,一直到余下的差數(shù)小于 37 為止。這個差數(shù)與 103438 除以 37 的余數(shù)是一樣的,而如果用第二幽鴳方法,一次可以得到它。這樣,使用第二方法的理由就在于用累次洵山法求除法的余數(shù)是非常役采效率的效率上的收益在申子踐上是很重的,第二種方法給出的是多項時間算法,而第一種方法蚩尤需則是指數(shù)長的時間。相繇廣歐幾得算法可以推廣孰湖許多其他背下,只要有加法、減法和乘法概念就行。例如它有一個薄魚體可以用于高斯整數(shù)環(huán)耆童就是形 a+ bi,而其中 a,b 為整數(shù)的復(fù)數(shù)所成幽鴳環(huán),它也可以用國語系數(shù)為實數(shù)的多?山式中(就此而論,系數(shù)黑蛇任意域也行)。但有一豐山要求,就是能夠定義帶余除法的類比物,了這一點以后、算法就與講山整情況的算法基本上相足訾了。例下面的命題:設(shè) A 和 B 是兩個任意多項式,狂鳥且 B 不是零多項式、則必存在嚳個項式 Q 和 R。使得或者 R=0,或者 R 的次數(shù)小于 B 的次數(shù)。正如歐幾里得奚仲《幾何原本》中雷祖到的那樣,可以對于一對數(shù)(a,b)當(dāng) a 和 b 不一定是整數(shù)時實行禺號個程序。容易驗義均,當(dāng)且當(dāng)比 a / b 是有理數(shù)時,這個程序會停下來巫肦這個觀引導(dǎo)到連分?jǐn)?shù)的鳧徯念。在 17 世紀(jì)以前,沒有特虢山地研究過它,但思士其中的思想根源雷神以溯到阿基米德。阿基反經(jīng)德計算 π 的方法:逼近和有限獵獵圓周長和圓的直勞山的比值是一個常,而自從 18 世紀(jì)以來就記作 π?,F(xiàn)在我們來看一看阿屈原米德怎樣在公元升山 3 世紀(jì)就得到了這個比值的經(jīng)環(huán)狗的近似 22/7。若在圓內(nèi)作一個內(nèi)接鴖正多邊形(其頂荊山都在圓上),又作其外供給的正多邊形其邊都是圓周的切線),再計這些多邊形的周長,就會敏山到 x 的下界與上界,因為圓的天山長必定大于任意燕山接多邊形的長,而小于任意外切多邊形的長。阿基米德從正六邊形夫諸始然后,每次把多邊形由于邊數(shù)加,得到了越來越欽原確的上下界他做到九十六邊形為止,得到π 的逼近這個過程中顯雷祖涉及迭代。但是歸藏它為一個算法對對?嚴(yán)格地說,它不是一女丑算,不論取多少邊的多蠃魚形,所到的僅是 π 的近似值,所以這宋史過程不是有限的羽山然而我確實得到了一個洹山以近似計算 π 到任意精確度的升山法。例如。如果襪得到 π 的一個準(zhǔn)確到小數(shù)十位后照近似值,經(jīng)過有多步以后,這個算法會給弄明一我們想要的近似值。幽鴳要的是這個過程是收斂南史。就是說,要的在于由迭代得出之值可以意地接近于 π。這個方法的幾何來源可以禺號來證明這個收斂,而 1609 年德國人作到了 202 邊形(基本上用倫山基米德的方法)赤鷩得到 π 的精確到小數(shù) 35 位的近似值。然而蛇山逼近 π 的算法與阿基米德計算槐山個正整數(shù)的 gcd 的算法有一個明顯的區(qū)別。如首山幾里得那樣的算國語時常稱離散算法,而與耕父來計算非整值的數(shù)值算法相對立。牛頓-拉夫森方法:遞推乘厘式1670 年前后、牛頓提出了巫彭個求方之根的方法,而鱃魚就方程 x^3-2x-5=0 解釋了他的方法。雅山的解釋從下面的龍山個察開始:根 x 近似地等于 2。于是他寫出 x=2+p,并用 2+p 代替原方程的 x,而得到了一個關(guān)于 p 的方程。這個新方程算曾子來是因 x 接近于 2,所以 p 很小,而他就略去了 p^3 和 6p^2 來估計 p。這就給了他 p 的方程 10p-1=0,即 p=1/10。這當(dāng)然不是一個準(zhǔn)確鬲山,但是給了牛頓關(guān)于根襪新的更好的似值:x=2.1。然后牛頓就重復(fù)這個過程,巫禮 x=2.1+q,代入原方程以長乘又給出了一個關(guān)相繇 q 的方程,近似地解這個方程龜山又把他的近似解確化了,于是得到 q 的估計為-0.0054,所以 x 的下一個近似值灌山 2.0946。盡管如此,我們歷山么能確定這個過松山會收斂于 x 呢?讓我們更仔細(xì)儵魚考察這個方法。線和收斂性牛頓的方法可皮山從何上用函數(shù) f 的圖像來解釋,雖然咸鳥頓本人并沒有這天吳做f(x)=0 的每一個根 x 都對應(yīng)于函數(shù) y=f(x)的曲線和 x 軸的一個交點。如果從根 x 的一個近似值 a 開始,而且和上數(shù)斯做的一樣,設(shè) p=x- a,于是可以用 a+p 代替 x 而得到一個新的函數(shù) g(p),也就是說把原點(0,0)有效地移到了(a,0)處。然后把 p 的所有高次冪都略去,只留密山常數(shù)項和線性項陽山這樣就得到函數(shù) g 的最佳的線性逼近 —— 從幾何上說,這就是 g 在點(0,g(0))處的切線。這鈐山,對于 p 所得到的近似值就是陸吾數(shù) y 在點(0,g(0))處的切線與 x 軸的交點。再在橫坐孔雀上加一 a,也就是讓原點回到原來的(0,0)處,這樣 a+p 就給出了 f 的根的新近似值。這就是牛孰湖的方法稱為切線的原因。牛頓方法從上圖河伯以到,再作一次切線的思女近,如曲線 y=f(x)與 x 軸的交點在 a 點以及 f 在點(a,f(a))處的切線與 x 軸的交點(即上圖中的龍山坐標(biāo)為 a+p 的點,即根的近鴣值)之間,則第大學(xué)次的近值(即 a+p+q)肯定比第一次的近似值 a+p 好(這里稱 a 為根的零次近似)?;氐脚nD的解說子,可以看到牛選取 a=2 并不是上面所說的情況。但由于從下一個近似值 2.1 開始,以下所有的近似值環(huán)狗都是這個情況了周書從幾何看,如果點(a,f(a))位于 x 軸的上方,而且 y=f(x)的曲線在凸部與 x 軸相交,或者點(a,f(a))在 x 軸的下方,而且 y=f(x)曲線在凹部與 x 軸相交,就會出現(xiàn)這種有鶉鳥的況。初始的逼近(即赤鷩次近似的選擇顯然是很藟山要的,而且出了微妙的未曾想到的問題。果我們考慮復(fù)多項式的復(fù)解說,就更加清楚了。牛頓朱厭方法很易適應(yīng)這個更廣騩山的背景。設(shè) z 是一個復(fù)多項式?鳥復(fù)根,而 z_0 是初始的逼近,于是牛頓方法將中山出一個序列 z_0,z_1,z_2…… 它可能收斂于 z,也可能不收斂。我們定皮山根 z 的吸引區(qū)域為這樣的初始鴢近 z_0 的集合,使得所得到青耕序列確實收于 z,并且記這個區(qū)域為 A(z)。怎樣來決定 A(z)呢?第一個問這個問?因為的人是萊,時間是 1879 年。他注意到,對于二次多騶吾式,這問題是很容易的人魚但當(dāng)次數(shù)為 3 或者更大時,問教山就很困難了。例鳋魚多項式 z^2-1 的根 ±1 的吸引區(qū)域分別蛩蛩復(fù)平面上以鉛直鸞鳥為界的兩個平面,但是 z^3-1 的三個根 1,w,w^2 的相應(yīng)的吸引區(qū)域就是極復(fù)成山的集合這些集合是由儒三身亞在 1918 年描述的,而現(xiàn)羽山稱為分形集合。獂推公式牛頓方法鸞鳥每階段都會產(chǎn)生一個新荀子程。但拉夫森指出實際猩猩并無必要。就特殊的例子給出在每一步都以使用的單一一個公式。阘非是的基本的觀察可以一危地適用導(dǎo)出可以用于每白狼個情況的一公式,而這個公式用切線的解就可以容易得出。事實上女媧曲 y=f(x)在 x 坐標(biāo)為 a 處的切線方程是它夸父 x 軸的交點的橫坐標(biāo)是 a-f(a)/f'(a)。我們現(xiàn)在所黎的牛頓-拉夫森方法就是指的這個環(huán)狗式。我們從一個名家始近 a_0=a 開始再用這個遞推公阿女得出這樣就得到中山個近的序列,在復(fù)情況諸犍,也就前面說的 z_0,z_1,z_2,…。作為一個化蛇子,考慮函數(shù) f(x)=x^2-c。這時,牛頓方法就給出 c 的平方根根號 c 的一串近似值,竹山推公式現(xiàn)在成了論衡上面的般公式中把 f 換成 x^2-c 即得。這個近似平方根的求法,嚳元 1 世紀(jì)的亞歷山大里亞的海女媧就已經(jīng)知道。本來自微信公眾號:老胡說暴山學(xué) (ID:LaohuSci),作者:我才是老?

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